선형시스템의 균질성(Homogeneity)과 가산성(Additivity)

선형 시스템(Linear System)은 균질성(homogeneity)과 가산성(additivity)을 만족하는 시스템으로, 이 두 속성은 선형 시스템의 정의와 분석에서 핵심적인 역할을 합니다.

1. 균질성과 가산성의 정의

선형 시스템은 입력과 출력 간의 관계가 선형 연산자 ( T[\cdot] )로 표현되며, 이는 균질성과 가산성을 만족해야 합니다. 이 두 속성은 중첩의 원리(superposition principle)를 구성하며, 선형 시스템의 수학적 분석과 설계를 가능하게 합니다.

(1) 균질성 (Homogeneity)

균질성은 입력을 상수배로 스케일링하면 출력도 동일한 상수배로 스케일링되는 특성을 의미합니다. 이는 시스템이 입력의 크기 변화에 대해 비례적으로 응답함을 보장합니다.

수학적으로:

$$ T[a u(t)] = a T[u(t)] $$

• ( u(t) ): 입력 신호.
• ( T[u(t)] ): 시스템의 출력.
• ( a ): 임의의 상수(실수 또는 복소수).
• ( T[\cdot] ): 시스템의 입력-출력 변환 함수.

균질성은 시스템에 비선형 항(예: ( u(t)^2 ), ( \sin(u(t)) ))이 없음을 나타내며, 출력이 입력의 크기에 선형적으로 의존함을 보장합니다.

(2) 가산성 (Additivity)

가산성은 두 입력의 합에 대한 출력이 각 입력에 대한 출력의 합과 같음을 의미합니다. 이는 시스템이 여러 입력의 영향을 독립적으로 처리할 수 있음을 나타냅니다.

수학적으로:

$$ T[u_1(t) + u_2(t)] = T[u_1(t)] + T[u_2(t)] $$

• ( u_1(t), u_2(t) ): 두 입력 신호.
• ( T[u_1(t)], T[u_2(t)] ): 각 입력에 대한 출력.

가산성은 시스템이 입력의 합성을 선형적으로 처리할 수 있음을 보장하며, 복잡한 입력을 개별 성분으로 분해하여 분석할 수 있게 합니다.

(3) 선형성 (Linearity)

균질성과 가산성을 결합하면 선형 시스템의 전체 조건이 됩니다:

$$ T[a u_1(t) + b u_2(t)] = a T[u_1(t)] + b T[u_2(t)] $$

• ( a, b ): 임의의 상수.
• 이 조건은 중첩의 원리로 불리며, 선형 시스템의 정의를 완성합니다.

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2. 균질성과 가산성의 수학적 의미

균질성과 가산성은 선형 시스템의 수학적 모델과 분석에 다음과 같은 영향을 미칩니다:

(1) 균질성의 역할

• 스케일링 보장: 입력의 크기를 조절(예: ( a u(t) ))하면 출력도 비례적으로 조절(( a y(t) ))되므로, 시스템의 동작이 예측 가능.
• 비선형성 배제: 균질성을 위반하는 시스템(예: ( T[u(t)] = u(t)^2 ))은 선형 시스템이 아님.
• 응용: 제어 시스템에서 이득(gain) 조정이 출력에 선형적으로 반영되며, 신호 처리에서 신호 크기 변화가 비례적으로 처리됨.

(2) 가산성의 역할

• 입력 분해: 복잡한 입력을 단순한 성분(예: 임펄스, 사인파)으로 분해하여 각 성분의 응답을 계산하고 합산 가능.
• 컨볼루션: 선형 시불변(LTI) 시스템에서 출력은 입력과 임펄스 응답의 컨볼루션으로 표현:
  $$ y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) u(t - \tau) , d\tau $$
  이는 가산성 덕분에 성립.
• 응용: 신호 처리에서 다중 주파수 신호를 개별 주파수 성분으로 분석.

(3) 결합된 효과

• 균질성과 가산성은 라플라스 변환, 푸리에 변환, 상태공간 분석 등의 도구를 적용 가능하게 함.
• 시스템의 동적 거동(예: 안정성, 응답 특성)을 선형 대수와 변환 기법으로 쉽게 분석.

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3. 균질성과 가산성의 예제

선형 시스템과 비선형 시스템을 통해 균질성과 가산성을 확인해 보겠습니다.

예제 1: RC 회로 (선형 시스템)

RC 회로(저항 ( R ), 커패시터 ( C ))는 다음과 같은 미분방정식으로 모델링됩니다:

$$ R C \frac{d v_C(t)}{dt} + v_C(t) = v_{\text{in}}(t) $$

• 입력: ( v_{\text{in}}(t) ), 출력: ( v_C(t) ).

균질성 확인

• 입력 ( v_{\text{in}}(t) )에 대한 출력: ( v_C(t) ).
• 입력 ( a v_{\text{in}}(t) ):
  $$ R C \frac{d v_C'(t)}{dt} + v_C'(t) = a v_{\text{in}}(t) $$
  출력 ( v_C'(t) = a v_C(t) )를 대입:
  $$ R C \frac{d (a v_C(t))}{dt} + a v_C(t) = a \left( R C \frac{d v_C(t)}{dt} + v_C(t) \right) = a v_{\text{in}}(t) $$
  따라서:
  $$ T[a v_{\text{in}}(t)] = a T[v_{\text{in}}(t)] $$
  균질성 만족.

가산성 확인

• 입력 ( v_{\text{in1}}(t) ), ( v_{\text{in2}}(t) )에 대한 출력: ( v_{C1}(t) ), ( v_{C2}(t) ).
• 입력 ( v_{\text{in1}}(t) + v_{\text{in2}}(t) ):
  $$ R C \frac{d v_C'(t)}{dt} + v_C'(t) = v_{\text{in1}}(t) + v_{\text{in2}}(t) $$
  출력 ( v_C'(t) = v_{C1}(t) + v_{C2}(t) )를 대입:
  $$ R C \frac{d (v_{C1}(t) + v_{C2}(t))}{dt} + (v_{C1}(t) + v_{C2}(t)) = \left( R C \frac{d v_{C1}(t)}{dt} + v_{C1}(t) \right) + \left( R C \frac{d v_{C2}(t)}{dt} + v_{C2}(t) \right) = v_{\text{in1}}(t) + v_{\text{in2}}(t) $$
  따라서:
  $$ T[v_{\text{in1}}(t) + v_{\text{in2}}(t)] = T[v_{\text{in1}}(t)] + T[v_{\text{in2}}(t)] $$
  가산성 만족.

결론

RC 회로는 균질성과 가산성을 모두 만족하므로 선형 시스템입니다.

예제 2: 비선형 시스템 (비교)

시스템 ( T[u(t)] = u(t)^2 ):

균질성 확인

• 입력 ( u(t) ), 출력 ( u(t)^2 ).
• 입력 ( a u(t) ):
  $$ T[a u(t)] = (a u(t))^2 = a^2 u(t)^2 \neq a T[u(t)] = a u(t)^2 $$
  균질성 불만족.

가산성 확인

• 입력 ( u_1(t) ), ( u_2(t) ), 출력 ( u_1(t)^2 ), ( u_2(t)^2 ).
• 입력 ( u_1(t) + u_2(t) ):
  $$ T[u_1(t) + u_2(t)] = (u_1(t) + u_2(t))^2 = u_1(t)^2 + 2 u_1(t) u_2(t) + u_2(t)^2 \neq T[u_1(t)] + T[u_2(t)] = u_1(t)^2 + u_2(t)^2 $$
  가산성 불만족.

결론

( T[u(t)] = u(t)^2 )는 균질성과 가산성을 모두 위반하므로 비선형 시스템입니다.

예제 3: 디지털 필터 (신호 처리)

2차 IIR 디지털 필터의 차분방정식:

$$ y[n] = b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2] - a_1 y[n-1] - a_2 y[n-2] $$

균질성 확인

• 입력 ( x[n] ), 출력 ( y[n] ).
• 입력 ( a x[n] ):
  $$ y'[n] = b_0 (a x[n]) + b_1 (a x[n-1]) + b_2 (a x[n-2]) - a_1 y'[n-1] - a_2 y'[n-2] $$
  출력 ( y'[n] = a y[n] )를 대입하면 방정식이 성립:
  $$ a y[n] = a \left( b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2] - a_1 y[n-1] - a_2 y[n-2] \right) $$
  따라서 균질성 만족.

가산성 확인

• 입력 ( x_1[n] ), ( x_2[n] ), 출력 ( y_1[n] ), ( y_2[n] ).
• 입력 ( x_1[n] + x_2[n] ):
  $$ y'[n] = b_0 (x_1[n] + x_2[n]) + b_1 (x_1[n-1] + x_2[n-1]) + b_2 (x_1[n-2] + x_2[n-2]) - a_1 y'[n-1] - a_2 y'[n-2] $$
  출력 ( y'[n] = y_1[n] + y_2[n] )를 대입하면 가산성 만족.

결론

디지털 필터는 균질성과 가산성을 만족하는 선형 시스템입니다.

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4. 선형 시스템에서 균질성과 가산성의 의미

(1) 균질성의 의미

• 스케일링 예측: 입력의 크기 변화가 출력에 비례적으로 반영되므로, 시스템 응답이 예측 가능.
• 제어 설계: 이득 조정(예: PID 제어기의 이득 ( K ))이 선형적으로 출력에 영향을 미침.
• 신호 처리: 신호 크기 변화(예: 오디오 신호 증폭)가 출력에 비례, 왜곡 없이 처리 가능.

(2) 가산성의 의미

• 입력 분해: 복잡한 입력을 단순 성분(예: 사인파, 임펄스)으로 분해, 각 성분의 응답을 합산하여 전체 응답 계산.
• 컨볼루션 분석: LTI 시스템에서 출력은 입력과 임펄스 응답의 컨볼루션으로, 가산성이 이를 가능하게 함.
• 주파수 분석: 푸리에 변환으로 입력을 주파수 성분으로 분해, 각 성분의 응답을 선형적으로 결합.

(3) 결합된 효과

• 균질성과 가산성은 선형 시스템의 분석 도구(라플라스 변환, 상태공간 모델, 루트 로커스)를 적용 가능하게 함.
• 시스템의 안정성, 과도 응답, 주파수 응답을 선형 대수와 변환 기법으로 분석.
• 비선형 시스템에 비해 수학적 해석이 간단, 실제 시스템의 선형 근사화에 기여.

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5. 해외 자료

다음은 균질성과 가산성을 다루는 해외 자료입니다:

(1) Norman S. Nise, "Control Systems Engineering" (7th Edition)

• 설명:

  "A linear system satisfies homogeneity (scaling the input scales the output) and additivity (the response to a sum of inputs is the sum of individual responses). These properties enable superposition."

• 분석: Nise는 균질성과 가산성이 선형 시스템의 분석(예: 전달함수, 상태공간)을 가능하게 한다고 강조.

(2) Katsuhiko Ogata, "Modern Control Engineering" (5th Edition)

• 설명:

  "Homogeneity ensures proportional response to scaled inputs, while additivity allows the response to combined inputs to be the sum of individual responses, defining linearity."

• 분석: Ogata는 이 속성이 컨볼루션, 라플라스 변환, 제어 설계의 기초라고 설명.

(3) Alan V. Oppenheim, "Signals and Systems" (2nd Edition)

• 설명:

  "A system is linear if it satisfies homogeneity and additivity, allowing techniques like convolution and Fourier transforms to analyze complex signals."

• 분석: Oppenheim은 신호 처리에서 균질성과 가산성이 신호 분해와 합성에 필수적이라고 강조.

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6. 결론

균질성은 입력의 상수배 스케일링이 출력에 동일한 상수배로 반영되는 속성(( T[a u(t)] = a T[u(t)] ))이며, 가산성은 입력의 합에 대한 출력이 각 입력의 출력 합과 같음(( T[u_1(t) + u_2(t)] = T[u_1(t)] + T[u_2(t)] ))을 의미합니다. 이 두 속성은 선형 시스템의 중첩의 원리를 구성하며, RC 회로, 질량-스프링-댐퍼 시스템, 디지털 필터와 같은 시스템에서 확인됩니다. 균질성과 가산성은 시스템의 예측 가능성, 입력 분해, 수학적 분석(컨볼루션, 변환)을 가능하게 하며, 제어 시스템과 신호 처리에서 필수적입니다.