선형 시불변 시스템 (Linear Time Invariant System)

선형 시스템의 시불변성(Time-Invariance)은 시스템의 특성과 응답이 시간에 따라 변하지 않는 특성을 의미합니다. 이는 선형 시불변(Linear Time-Invariant, LTI) 시스템의 핵심 속성 중 하나로, 시스템의 동작이 시간 이동(time shift)에 대해 일관되게 유지됨을 보장합니다.

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1. 시불변성의 정의

시불변성은 시스템의 입력을 시간적으로 이동(예: 지연 또는 앞당김)시키면 출력도 동일한 시간만큼 이동하지만, 그 형태나 특성은 변하지 않는 속성입니다. 즉, 시스템의 동적 특성(예: 이득, 임펄스 응답)이 시간에 의존하지 않습니다.

수학적으로, 시스템 ( T[\cdot] )가 시불변성을 만족하려면 다음이 성립해야 합니다:

$$ T[u(t - \tau)] = y(t - \tau) $$

여기서:

• ( u(t) ): 입력 신호.
• ( T[u(t)] = y(t) ): 입력 ( u(t) )에 대한 출력.
• ( \tau ): 시간 이동 상수(양수 또는 음수).
• ( u(t - \tau) ): 입력 신호를 ( \tau )만큼 시간 이동한 신호.
• ( y(t - \tau) ): 원래 출력 ( y(t) )를 ( \tau )만큼 시간 이동한 결과.

이는 시스템의 응답이 입력의 절대적인 시간(예: ( t = 0 ) 또는 ( t = 10 ))에 의존하지 않고, 입력의 상대적인 시간 구조에만 의존함을 의미합니다.

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2. 시불변성과 선형 시스템

선형 시스템은 선형성(균질성과 가산성)과 시불변성을 모두 만족하는 경우 선형 시불변(LTI) 시스템으로 분류됩니다. 시불변성은 다음과 같은 특징을 제공합니다:

• 일관된 응답: 시스템의 임펄스 응답 ( h(t) ) 또는 전달함수 ( H(s) )가 시간에 따라 변하지 않음.
• 분석 용이성: 시불변성은 컨볼루션, 라플라스 변환, 푸리에 변환 등의 도구를 사용하여 시스템을 분석할 수 있게 함.
• 시스템 특성: LTI 시스템의 출력은 입력과 임펄스 응답의 컨볼루션으로 표현:
  $$ y(t) = h(t) * u(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) u(t - \tau) , d\tau $$

시불변성을 만족하지 않는 시스템은 시변(Time-Variant) 시스템으로, 시스템 파라미터(예: 이득, 계수)가 시간에 따라 변합니다.

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3. 시불변성의 수학적 확인

시불변성을 확인하려면, 입력을 시간 이동시킨 후 출력이 단순히 동일한 시간 이동을 따르는지 확인합니다. 이를 수학적으로 테스트하는 과정은 다음과 같습니다:

1. 입력 ( u(t) )에 대한 출력 ( y(t) = T[u(t)] )를 계산.
2. 시간 이동된 입력 ( u(t - \tau) )에 대한 출력 ( T[u(t - \tau)] )를 계산.
3. 출력 ( T[u(t - \tau)] )가 ( y(t - \tau) )와 같은지 확인.

만약 ( T[u(t - \tau)] = y(t - \tau) ), 시스템은 시불변입니다. 그렇지 않으면 시변입니다.

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4. 시불변성의 예제

시불변성과 시변성을 선형 시스템 예제를 통해 확인해 보겠습니다.

예제 1: RC 회로 (시불변 시스템)

RC 회로(저항 ( R ), 커패시터 ( C ))의 미분방정식:

$$ R C \frac{d v_C(t)}{dt} + v_C(t) = v_{\text{in}}(t) $$

• 입력: ( v_{\text{in}}(t) ), 출력: ( v_C(t) ).
• 시스템 파라미터 ( R, C )는 상수(시간에 의존하지 않음).

시불변성 확인

• 입력 ( v_{\text{in}}(t) )에 대한 출력: ( v_C(t) ).
• 시간 이동된 입력 ( v_{\text{in}}(t - \tau) ):
  $$ R C \frac{d v_C'(t)}{dt} + v_C'(t) = v_{\text{in}}(t - \tau) $$
  출력 ( v_C'(t) = v_C(t - \tau) )를 대입:
  $$ R C \frac{d v_C(t - \tau)}{dt} + v_C(t - \tau) = R C \frac{d v_C(t - \tau)}{dt} + v_C(t - \tau) = v_{\text{in}}(t - \tau) $$
  미분방정식은 시간 ( t )에 명시적으로 의존하지 않으므로, ( v_C'(t) = v_C(t - \tau) ).
  따라서:
  $$ T[v_{\text{in}}(t - \tau)] = v_C(t - \tau) $$
  시불변성 만족.

결론

RC 회로는 ( R, C )가 상수이므로 시불변 시스템입니다. 임펄스 응답 ( h(t) = \frac{1}{R C} e^{-\frac{t}{R C}} u(t) )는 시간에 따라 변하지 않음.

예제 2: 시간 의존 이득 시스템 (시변 시스템)

시스템 ( T[u(t)] = t u(t) ):

• 입력: ( u(t) ), 출력: ( y(t) = t u(t) ).
• 시스템의 이득이 시간 ( t )에 의존.

시불변성 확인

• 입력 ( u(t) ), 출력 ( y(t) = t u(t) ).
• 시간 이동된 입력 ( u(t - \tau) ):
  $$ T[u(t - \tau)] = t u(t - \tau) $$
• 원래 출력의 시간 이동:
  $$ y(t - \tau) = (t - \tau) u(t - \tau) $$
• 비교:
  $$ t u(t - \tau) \neq (t - \tau) u(t - \tau) $$
  시불변성 불만족.

결론

이 시스템은 이득이 시간 ( t )에 의존하므로 시변 시스템입니다.

예제 3: 디지털 필터 (시불변 시스템)

2차 IIR 디지털 필터의 차분방정식:

$$ y[n] = b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2] - a_1 y[n-1] - a_2 y[n-2] $$

• 입력: ( x[n] ), 출력: ( y[n] ).
• 계수 ( b_i, a_i )는 상수.

시불변성 확인

• 입력 ( x[n] ), 출력 ( y[n] ).
• 시간 이동된 입력 ( x[n - k] ):
  $$ y'[n] = b_0 x[n - k] + b_1 x[n - 1 - k] + b_2 x[n - 2 - k] - a_1 y'[n - 1] - a_2 y'[n - 2] $$
  출력 ( y'[n] = y[n - k] )를 대입하면 방정식이 성립:
  $$ y[n - k] = b_0 x[n - k] + b_1 x[n - 1 - k] + b_2 x[n - 2 - k] - a_1 y[n - 1 - k] - a_2 y[n - 2 - k] $$
  따라서:
  $$ T[x[n - k]] = y[n - k] $$
  시불변성 만족.

결론

디지털 필터는 계수가 시간에 의존하지 않으므로 시불변 시스템입니다.

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5. 선형 시스템에서 시불변성의 의미

시불변성은 LTI 시스템의 분석과 설계에 다음과 같은 중요한 역할을 합니다:

1. 컨볼루션 분석:

   • 시불변 시스템의 출력은 입력과 임펄스 응답의 컨볼루션으로 표현:
     $$ y(t) = h(t) * u(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) u(t - \tau) , d\tau $$
   • 이는 시불변성 덕분에 임펄스 응답 ( h(t) )가 시간에 따라 일정하기 때문에 가능.

2. 주파수 도메인 분석:

   • 라플라스 변환(연속 시스템) 또는 Z-변환(이산 시스템)을 사용하여 전달함수 ( H(s) ) 또는 ( H(z) )를 정의:
     $$ Y(s) = H(s) U(s), \quad H(s) = \mathcal{L}{h(t)} $$
   • 시불변성은 전달함수가 시간에 의존하지 않음을 보장.

3. 안정성과 응답 예측:

   • 시불변 시스템의 안정성은 극점(전달함수의 분모) 위치로 결정되며, 시간에 따라 변하지 않음.
   • 예: RC 회로의 극점 ( s = -\frac{1}{R C} )는 상수, 안정성 일정.

4. 실제 응용:

   • 전자공학: 필터 회로(RC, RLC)의 응답이 시간에 따라 일정.
   • 신호 처리: 디지털 필터의 주파수 응답이 고정.
   • 제어 시스템: 루트 로커스, Bode 선도 분석에서 시스템 특성이 시간 독립적.

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6. 시불변성과 시변 시스템의 비교

• 시불변 시스템:

  • 시스템 파라미터(예: 저항, 스프링 상수)가 시간에 의존하지 않음.
  • 임펄스 응답 ( h(t) ) 또는 전달함수 ( H(s) )가 고정.
  • 분석 도구: 컨볼루션, 라플라스 변환, 푸리에 변환.
  • 예: RC 회로, 디지털 필터.

• 시변 시스템:

  • 시스템 파라미터가 시간에 따라 변함(예: 시간 의존 이득 ( t u(t) )).
  • 임펄스 응답 ( h(t, \tau) )가 시간 ( t )와 ( \tau )에 모두 의존.
  • 분석이 복잡, 수치적 방법 또는 시간 의존 모델 필요.
  • 예: 시간에 따라 저항이 변하는 회로, 변조 신호 시스템.

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7. 해외 자료를 통한 설명

다음은 시불변성을 다루는 해외 자료입니다:

(1) Norman S. Nise, "Control Systems Engineering" (7th Edition)

• 설명:

  "A time-invariant system produces an output that is a time-shifted version of the original output when the input is time-shifted. This property enables convolution and transform techniques."

• 분석: Nise는 시불변성이 LTI 시스템의 컨볼루션과 주파수 도메인 분석의 기초라고 강조.

(2) Katsuhiko Ogata, "Modern Control Engineering" (5th Edition)

• 설명:

  "Time-invariance means the system’s response to a time-shifted input is the same as the time-shifted response to the original input, a key property of LTI systems."

• 분석: Ogata는 시불변성이 전달함수와 상태공간 모델의 시간 독립성을 보장한다고 설명.

(3) Alan V. Oppenheim, "Signals and Systems" (2nd Edition)

• 설명:

  "A system is time-invariant if its behavior does not depend on the absolute time, allowing the use of convolution and Fourier transforms for analysis."

• 분석: Oppenheim은 시불변성이 신호 처리에서 필터 설계와 신호 분석에 필수적이라고 강조.

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8. 결론

시불변성은 선형 시스템의 응답이 시간 이동에 대해 일관되게 유지되는 속성으로, 입력 ( u(t - \tau) )에 대한 출력이 ( y(t - \tau) )임을 보장합니다(( T[u(t - \tau)] = y(t - \tau) )). 이는 RC 회로, 디지털 필터와 같은 LTI 시스템에서 확인되며, 컨볼루션, 라플라스 변환, 전달함수 분석을 가능하게 합니다. 시불변성은 시스템의 안정성, 응답 예측, 설계 용이성에 기여하며, 시변 시스템(예: 시간 의존 이득)과 대비됩니다.