PU 법 (퍼유닛) 을 이용한 동기발전기 최대출력 계산 (2019. 1회)

 

3상 비돌극형 동기발전기의 최대 출력 계산

주어진 조건

• 정격출력: (5000 , \text{kVA})
• 정격전압 (선간전압): (6000 , \text{V})
• 정격역률: (0.8) (지상, lagging)
• 1상의 동기리액턴스: (X_s = 0.8 , \text{pu})
• 여자 상태: 정격상태로 유지 (즉, 내부 유기전압 (E_f)는 정격 조건에서 고정)
• 저항: 무시 ((R = 0))

목표

최대 출력 ((P_{\text{max}}))을 (\text{kW}) 단위로 구하는 것입니다.

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추가 개념 설명

회전자의 여자 전류

회전자의 여자 전류 (excitation current)는 동기발전기 또는 동기전동기의 회전자 권선에 공급되는 직류(DC) 전류를 의미합니다. 이 전류는 계자(field winding)를 통해 흐르며, 회전자에 자기장을 생성합니다. 이 자기장은 고정자와 상호작용하여 전압을 유도하고, 발전기의 출력 전력을 제어하는 핵심 요소입니다. 여자 전류의 크기에 따라 내부 유기전압 ((E_f))의 크기가 결정되며, 이는 발전기의 무효전력과 전압 조절 능력에 직접적인 영향을 미칩니다. 문제에서 "여자를 정격상태로 유지"한다는 것은 여자 전류가 정격 조건에서의 값을 유지하여 (E_f)가 일정하다는 의미입니다.

동기리액턴스 ((X_s))

동기리액턴스 (synchronous reactance)는 동기기에서 회전자와 고정자 간의 자기적 상호작용에 의해 발생하는 유도 리액턴스를 나타냅니다. 단위는 옴((\Omega)) 또는 퍼유닛(pu)으로 표현되며, 이는 주로 회전자의 자속과 고정자 권선의 전류가 서로 반응하여 생기는 전압 강하를 모델링합니다. 동기리액턴스는 발전기의 내부 임피던스의 주요 구성 요소로, 저항이 무시될 경우 전체 임피던스를 대표합니다. (X_s)는 부하 전류 ((I))에 비례하는 전압 강하 ((j X_s I))를 유발하며, 이는 단자 전압 ((V_t))와 내부 유기전압 ((E_f)) 간의 차이를 설명합니다. 비돌극형 동기기에서는 직축 ((X_d))와 교축 ((X_q)) 리액턴스가 다를 수 있으나, 문제에서 단일 (X_s = 0.8 , \text{pu})로 주어졌으므로 단순화된 모델을 적용합니다.

내부 유기전압 ((E_f))

내부 유기전압은 여자 전류에 의해 회전자 자속이 고정자 권선에 유도하는 전압으로, 부하가 없는 상태에서는 단자 전압과 같습니다. 부하가 연결되면 (X_s)를 통한 전압 강하가 발생하여 (E_f)와 (V_t)가 달라집니다. (E_f)는 다음 식으로 표현됩니다:
$$
E_f = V_t + j X_s \cdot I
$$

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단계별 계산

1. 기준값 설정 (퍼유닛 시스템)

• 기준용량: (S_{\text{base}} = 5000 , \text{kVA})
• 기준전압 (선간): (V_{\text{base}} = 6000 , \text{V})
• 단자 전압: (V_t = 1.0 , \text{pu})

2. 정격 조건에서의 내부 유기전압 ((E_f)) 계산

정격 조건에서:

• 정격 유효전력:
  $$
  P = S \cdot \cos\phi = 5000 \cdot 0.8 = 4000 , \text{kW}
  $$
• 정격 무효전력:
  $$
  Q = S \cdot \sin\phi = 5000 \cdot \sqrt{1 - 0.8^2} = 5000 \cdot 0.6 = 3000 , \text{kvar}
  $$

퍼유닛 값:

• (P = \frac{4000}{5000} = 0.8 , \text{pu})
• (Q = \frac{3000}{5000} = 0.6 , \text{pu})

단자 전압 (V_t = 1.0 \angle 0^\circ , \text{pu})로 설정하고, 전류 (I)를 계산:
$$
S = V_t \cdot I^*
$$
$$
I^* = \frac{P + jQ}{V_t} = \frac{0.8 + j0.6}{1.0} = 0.8 + j0.6
$$
$$
I = (0.8 - j0.6) , \text{pu}
$$

(E_f) 계산:
$$
E_f = V_t + j X_s \cdot I
$$
$$
E_f = 1.0 + j \cdot 0.8 \cdot (0.8 - j0.6)
$$

• (j \cdot 0.8 \cdot 0.8 = j0.64)
• (j \cdot 0.8 \cdot (-j0.6) = -j^2 \cdot 0.48 = 0.48) ((j^2 = -1))
  $$
  E_f = 1.0 + 0.48 + j0.64 = 1.48 + j0.64
  $$

크기:
$$
|E_f| = \sqrt{(1.48)^2 + (0.64)^2} = \sqrt{2.1904 + 0.4096} = \sqrt{2.6} \approx 1.612 , \text{pu}
$$

식의 유도

(E_f = V_t + j X_s I)는 동기기의 등가 회로에서 키르히호프 전압 법칙을 적용한 결과입니다. (X_s)는 여자 전류에 의한 자속과 부하 전류 간의 상호작용을 반영하며, (j)는 리액턴스 전압이 전류와 90도 위상차를 가짐을 나타냅니다.

3. 최대 출력 계산

유효전력:
$$
P = \frac{|E_f| \cdot |V_t|}{X_s} \sin\delta
$$
최대 출력 ((\sin\delta = 1)):
$$
P_{\text{max}} = \frac{|E_f| \cdot |V_t|}{X_s}
$$

대입:

• (|E_f| = 1.612 , \text{pu})
• (|V_t| = 1.0 , \text{pu})
• (X_s = 0.8 , \text{pu})
  $$
  P_{\text{max}} = \frac{1.612 \cdot 1.0}{0.8} = 2.015 , \text{pu}
  $$

4. 절대값으로 변환

$$
P_{\text{max}} = 2.015 \cdot 5000 = 10075 , \text{kW}
$$

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결과

최대 출력은 약 (10075 , \text{kW})입니다.

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보완 설명

• 여자 전류의 역할: 여자 전류는 (E_f)를 결정하며, (E_f)가 클수록 출력 가능 전력이 증가합니다. 정격 여자는 정격 출력에서의 최적 전류를 유지합니다.
• 동기리액턴스의 물리적 의미: (X_s)는 자속 쇄교로 인한 유도 전압의 저항으로, 발전기의 전압 조절과 안정도에 영향을 미칩니다.
• 비돌극형 특성: (X_d)와 (X_q)가 다를 수 있으나, 문제에서 (X_s)로 통일하여 계산했습니다.