행렬식 계산의 "대각선 곱셈 후 뺄셈" 방식의 기원과 배경

1. 행렬식과 대각선 계산의 기본

3×3 행렬식은 다음과 같이 표현됩니다:
$$
\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{vmatrix}
$$
그리고 일반적으로 다음과 같은 공식으로 계산됩니다:
$$
\text{행렬식} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
$$
이 공식에서 "대각선 계산 순서"는 각 열(또는 행)을 기준으로 대각선 방향의 곱셈을 하고, 그 결과를 더하거나 빼는 패턴을 따릅니다. 이 순서와 방식은 임의로 정해진 것이 아니라, 행렬식의 수학적 정의와 기하학적 의미에서 자연스럽게 유도된 결과입니다.

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2. 대각선 계산 순서가 결정된 배경

(1) 여인수 전개(Cofactor Expansion)에서 기원

- 행렬식의 계산은 역사적으로 **여인수 전개**(또는 라플라스 전개)에서 시작되었습니다. 이는 특정 행이나 열을 따라 각 요소에 해당하는 여인수(작은 행렬식)를 곱하고 합치는 방식입니다.
- 3×3 행렬식에서 첫 번째 행($a, b, c$)을 기준으로 전개하면:

• $a$의 여인수: $\begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} = ei - fh$, 부호는 $(+1)$ (위치 $(1,1)$이라 $(-1)^{1+1}$).
• $b$의 여인수: $\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} = di - fg$, 부호는 $(-1)$ (위치 $(1,2)$라 $(-1)^{1+2}$).
• $c$의 여인수: $\begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} = dh - eg$, 부호는 $(+1)$ (위치 $(1,3)$이라 $(-1)^{1+3}$).
  - 결과적으로:
  $$
  \text{행렬식} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
  $$
  - 여기서 "대각선"이란 각 요소($a, b, c$)와 그 여인수의 대각선 곱셈($ei$, $fh$ 등)을 의미하며, 부호는 위치에 따라 결정됩니다.

(2) 부호 패턴의 논리

- 행렬식의 부호 패턴(+$a$, -$b$, +$c$)은 행렬의 각 위치에 따라 규칙적으로 정해집니다. 이는 행렬식이 **선형 변환의 방향성**(확대/축소와 방향 반전)을 반영하기 때문입니다.
- 수학적으로, 행렬식은 교대 다중선형(alternating multilinear) 성질을 가지는데, 이는 두 행이나 열을 바꾸면 부호가 바뀌는 특성입니다. 이 부호 규칙이 대각선 계산의 순서와 부호를 결정합니다.

(3) 기하학적 해석: 방향과 부피

- 행렬식은 세 벡터가 이루는 평행육면체의 **부피**를 계산하며, 부피는 방향성(오른손 vs. 왼손 좌표계)에 따라 양수 또는 음수가 됩니다.
- 대각선 곱셈($ei$, $fh$ 등)은 특정 방향의 면적 기여도를 계산하고, 뺄셈은 반대 방향의 기여를 조정합니다. 이 순서와 부호는 부피의 방향성을 정확히 반영하도록 설계되었습니다.

(4) 역사적 발전

- 행렬식 개념은 17~18세기 수학자들(라이프니츠, 크래머, 가우스 등)에 의해 발전했으며, 3×3 행렬식의 대각선 계산법은 가우스와 이후 수학자들이 체계화한 결과입니다.
- 초기에는 행렬식이 방정식 해법(크래머 법칙)이나 기하학적 변환을 풀기 위한 도구로 사용되었고, 대각선 패턴은 계산을 단순화하는 실용적 방법으로 자리잡았습니다.

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3. 대각선 계산 순서의 구체적 결정 과정

- **첫 번째 항($a(ei - fh)$)**: $a$는 첫 번째 행, 첫 번째 열에 위치하므로, 남은 2×2 행렬($e, f, h, i$)의 대각선 곱셈($ei - fh$)을 사용합니다. 부호는 양수로 시작.
- **두 번째 항($-b(di - fg)$)**: $b$는 첫 번째 행, 두 번째 열에 있으므로, 해당 열을 제외한 2×2 행렬($d, f, g, i$)의 대각선 곱셈($di - fg$)을 계산합니다. 위치 $(1,2)$에 따라 부호는 음수.
- **세 번째 항($c(dh - eg)$)**: $c$는 첫 번째 행, 세 번째 열에 있으므로, 2×2 행렬($d, e, g, h$)의 대각선 곱셈($dh - eg$)을 계산하며, 부호는 양수.
- 이 순서는 첫 번째 행을 기준으로 왼쪽에서 오른쪽으로 진행하며, 각 열에 맞는 대각선 방향을 따라 자연스럽게 정해졌습니다.

대체 순서 가능성

- 열 대신 행을 기준으로 전개할 수도 있습니다(예: 첫 번째 열 $a, d, g$). 그러나 결과는 동일하며, 대각선 계산의 패턴은 행렬식의 정의에 따라 일관되게 유지됩니다.

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4. 비유로 이해하기

- **퍼즐 맞추기**: 행렬식을 계산하는 건 퍼즐을 맞추는 것과 비슷합니다. 대각선 계산 순서는 퍼즐 조각을 특정 순서(왼쪽에서 오른쪽)로 맞추는 규칙과 같습니다. 부호는 조각을 뒤집을지 말지 결정하는 신호입니다.
- **지도 그리기**: 세 점의 위치를 가지고 면적을 그리려면 방향을 따라 길이를 곱하고(곱셈), 반대 방향을 조정(뺄셈)해야 합니다. 이 순서는 지도를 체계적으로 그리는 방법입니다.

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5. 물리학에서의 의미와 순서의 중요성

- **외적 계산**: 물리학에서 외적(예: $\vec{A} \times \vec{B}$)은 행렬식으로 구하며, 대각선 순서는 방향과 크기를 결정합니다:
$$
\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
A_x & A_y & A_z \\
B_x & B_y & B_z \\
\end{vmatrix}
$$
- 순서가 바뀌면(예: $b$부터 계산) 결과의 부호가 뒤틀려 방향이 반대가 될 수 있으므로, 일관된 순서(첫 행 기준 왼쪽에서 오른쪽)가 필요합니다.

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6. 결론

행렬식의 대각선 계산 순서는 **여인수 전개**의 체계적 전개와 **기하학적 방향성**을 반영하기 위해 결정되었습니다. 첫 행(또는 열)을 기준으로 왼쪽에서 오른쪽으로 진행하며, 각 요소의 대각선 곱셈과 부호를 계산하는 방식은 수학적 일관성과 실용성을 보장합니다. 이 순서는 역사적 발전과 물리적 의미(부피, 방향)를 자연스럽게 연결한 결과입니다.