대칭 n상 교류 성형결선의 선간전압과 상전압간의 위상차

---

1. 대칭 ( n )-상 성형결선의 정의

대칭 ( n )-상 교류 시스템은 ( n )개의 상(Phase)이 중성점(N)에 연결된 성형결선(Star Connection, Y-Connection)으로 구성됩니다. 각 상전압은 크기가 동일하고, 위상은 ( \frac{360^\circ}{n} ) 간격으로 배열됩니다. 목표는 선간전압(예: ( V_{AB} ))과 상전압(예: ( V_{AN} )) 간의 위상차를 일반화된 식으로 유도하는 것입니다.

• 상전압(Phase Voltage): 각 상과 중성점 간의 전압(예: ( V_{AN} )).
• 선간전압(Line Voltage): 두 상 간의 전압(예: ( V_{AB} )).
• 위상 간격: ( \frac{360^\circ}{n} ).

---

2. ( n )-상 시스템의 전압 표현

대칭 ( n )-상 시스템에서 상전압은 복소평면에서 ( \frac{360^\circ}{n} ) 간격으로 배치됩니다. 상전압의 크기를 ( V_\phi )라 하면, 각 상전압은 다음과 같이 표현됩니다:

• 첫 번째 상(A): ( V_{AN} = V_\phi \angle 0^\circ ).
• 두 번째 상(B): ( V_{BN} = V_\phi \angle -\frac{360^\circ}{n} ).
• 세 번째 상(C): ( V_{CN} = V_\phi \angle -\frac{2 \cdot 360^\circ}{n} ).
• ...
• ( k )-번째 상: ( V_{kN} = V_\phi \angle -\frac{(k-1) \cdot 360^\circ}{n} ).

선간전압은 두 상전압의 벡터 차이로 정의됩니다. 예를 들어, ( V_{AB} )는:
$$ V_{AB} = V_{AN} - V_{BN} $$

---

3. 선간전압과 상전압의 위상차 유도

(1) 선간전압 ( V_{AB} ) 계산

상전압을 벡터로 표현합니다:

• ( V_{AN} = V_\phi \angle 0^\circ = V_\phi (1 + j 0) ).
• ( V_{BN} = V_\phi \angle -\theta ), 여기서 ( \theta = \frac{360^\circ}{n} ).

오일러 공식을 사용하여:
$$ V_{BN} = V_\phi e^{-j \theta} = V_\phi (\cos \theta - j \sin \theta) $$

선간전압 ( V_{AB} ):
$$ V_{AB} = V_{AN} - V_{BN} = V_\phi \angle 0^\circ - V_\phi \angle -\theta = V_\phi (1 - e^{-j \theta}) $$

이를 복소수 형태로 변환:
$$ e^{-j \theta} = \cos \theta - j \sin \theta $$
$$ V_{AB} = V_\phi (1 - (\cos \theta - j \sin \theta)) = V_\phi (1 - \cos \theta + j \sin \theta) $$

(2) 선간전압의 크기와 위상

• 크기:
  $$ |V_{AB}| = V_\phi \sqrt{(1 - \cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2} $$
  삼각항등식을 사용하여:
  $$ (1 - \cos \theta)^2 + \sin^2 \theta = 1 - 2 \cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 2 - 2 \cos \theta = 2 (1 - \cos \theta) $$
  $$ 1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right) $$
  $$ |V_{AB}| = V_\phi \sqrt{2 \cdot 2 \sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right)} = V_\phi \sqrt{4 \sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right)} = 2 V_\phi \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) $$
• 여기서 ( \theta = \frac{360^\circ}{n} ), 따라서:
  $$ |V_{AB}| = 2 V_\phi \sin \left( \frac{180^\circ}{n} \right) $$
• 위상:
  $$ \angle V_{AB} = \tan^{-1} \left( \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} \right) $$
  삼각항등식을 사용하여:
  $$ \sin \theta = 2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \cos \left( \frac{\theta}{2} \right) $$
  $$ 1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right) $$
  $$ \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) \cos \left( \frac{\theta}{2} \right)}{2 \sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right)} = \cot \left( \frac{\theta}{2} \right) $$
  $$ \angle V_{AB} = \tan^{-1} \left( \cot \left( \frac{\theta}{2} \right) \right) = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} $$
• 라디안을 도로 변환:
  $$ \angle V_{AB} = 90^\circ - \frac{\theta}{2} = 90^\circ - \frac{180^\circ}{n} $$

(3) 위상차 계산

• 상전압 ( V_{AN} )의 위상: ( 0^\circ ).
• 선간전압 ( V_{AB} )의 위상: ( 90^\circ - \frac{180^\circ}{n} ).
• 위상차:
  $$ \angle V_{AB} - \angle V_{AN} = \left( 90^\circ - \frac{180^\circ}{n} \right) - 0^\circ = 90^\circ - \frac{180^\circ}{n} $$

따라서, 대칭 ( n )-상 성형결선에서 선간전압과 상전압 간의 위상차는:
$$ \boxed{90^\circ - \frac{180^\circ}{n}} $$

---

4. 특정 ( n )에 대한 검증

유도된 식을 특정 ( n ) 값에 적용하여 결과를 검증합니다.

(1) 3상 시스템 (( n = 3 ))

• ( \theta = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ ).
• 위상차:
  $$ 90^\circ - \frac{180^\circ}{3} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $$
• 검증: 3상 성형결선에서 선간전압 ( V_{AB} )는 ( V_{AN} )보다 30도 앞섬. 이는 잘 알려진 결과와 일치.

(2) 5상 시스템 (( n = 5 ))

• ( \theta = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ ).
• 위상차:
  $$ 90^\circ - \frac{180^\circ}{5} = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ $$
• 검증: 5상 시스템에서 선간전압 ( V_{AB} )는 ( V_{AN} )보다 54도 앞섬(이전 답변과 일치).

(3) 단상 시스템 (( n = 1 ))

• ( \theta = \frac{360^\circ}{1} = 360^\circ ).
• 위상차:
  $$ 90^\circ - \frac{180^\circ}{1} = 90^\circ - 180^\circ = -90^\circ $$
• 의미: 단상에서는 선간전압과 상전압의 개념이 동일하지 않으므로, 이 경우는 물리적으로 의미가 제한적.

---

5. 벡터 다이어그램을 통한 직관적 이해

벡터 다이어그램은 위상차를 시각적으로 이해하는 데 유용합니다:

• ( n )-상 시스템의 상전압은 중성점 ( N )을 중심으로 ( \frac{360^\circ}{n} ) 간격의 별(star) 형태로 배치.
• 선간전압 ( V_{AB} = V_{AN} - V_{BN} )는 ( V_{AN} )에서 ( V_{BN} )의 음의 벡터를 더한 결과.
• ( V_{AB} )의 위상은 ( V_{AN} )과 ( V_{BN} )의 벡터 합으로 결정되며, ( 90^\circ - \frac{180^\circ}{n} )만큼 앞섬.

예: 3상 시스템 (( n = 3 )):

• ( V_{AN} )은 0도, ( V_{BN} )은 -120도.
• ( V_{AB} )는 30도 방향으로, ( V_{AN} )보다 30도 앞섬.

---

6. 물리적 의미

• 위상차의 중요성: 선간전압과 상전압의 위상차는 전력 시스템의 설계와 분석에서 필수적. 예를 들어, 모터나 변압기의 전압 분배, 전력 계산에 영향을 미침.
• 다상 시스템의 장점: ( n )-상 시스템은 단상보다 효율적이고 안정적인 전력 전달을 제공. 위상차는 시스템의 대칭성을 유지하며 전력 흐름을 최적화.
• 선간전압의 크기: $$ |V_{AB}| = 2 V_\phi \sin \frac{180^\circ}{n} $$, 위상차와 함께 전압 크기 분석에 사용.

---

7. 예제 계산

예제 1: 3상 시스템

• 상전압 크기: ( V_\phi = 100 , \text{V} ).
• 위상차: ( 90^\circ - \frac{180^\circ}{3} = 30^\circ ).
• 선간전압:
  $$ |V_{AB}| = 2 \cdot 100 \cdot \sin \left( \frac{180^\circ}{3} \right) = 2 \cdot 100 \cdot \sin 60^\circ = 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 173.2 , \text{V} $$
  $$ \angle V_{AB} = 30^\circ $$

예제 2: 5상 시스템

• 상전압 크기: ( V_\phi = 100 , \text{V} ).
• 위상차: ( 90^\circ - \frac{180^\circ}{5} = 54^\circ ).
• 선간전압:
  $$ |V_{AB}| = 2 \cdot 100 \cdot \sin \left( \frac{180^\circ}{5} \right) = 200 \cdot \sin 36^\circ \approx 200 \cdot 0.5878 \approx 117.56 , \text{V} $$
  $$ \angle V_{AB} = 54^\circ $$

---

8. 결론

대칭 ( n )-상 교류 성형결선에서 선간전압과 상전압 간의 위상차를 유도한 결과:
$$ \boxed{90^\circ - \frac{180^\circ}{n}} $$

• 유도 과정: 벡터 분석과 삼각항등식을 사용하여 ( V_{AB} = V_{AN} - V_{BN} )의 위상을 계산.
• 의미: 선간전압은 상전압보다 ( 90^\circ - \frac{180^\circ}{n} )만큼 앞섬.
• 검증: ( n = 3 ) (30도), ( n = 5 ) (54도)로 잘 알려진 결과와 일치.
• 응용: 전력 시스템 설계, 모터 제어, 변압기 분석.

추가로 특정 ( n )-상 시스템의 벡터 다이어그램, 전력 계산, 또는 시뮬레이션이 필요하시면 말씀해 주십시오.

n-상 성형결선의 선간전압과 상전압 위상차

정의

• 대칭 ( n )-상 성형결선: ( n )개 상이 중성점(N)에 연결.
• 상전압: 상과 중성점 간 전압(예: ( V_{AN} )).
• 선간전압: 두 상 간 전압(예: ( V_{AB} )).
• 위상 간격: ( \theta = \frac{360^\circ}{n} ).

위상차 유도

• 상전압: ( V_{AN} = V_\phi \angle 0^\circ ), ( V_{BN} = V_\phi \angle -\theta ).
• 선간전압:
  $$ V_{AB} = V_{AN} - V_{BN} = V_\phi (1 - \cos \theta + j \sin \theta) $$
• 위상:
  $$ \angle V_{AB} = \tan^{-1} \left( \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} \right) = 90^\circ - \frac{\theta}{2} = 90^\circ - \frac{180^\circ}{n} $$
• 위상차:
  $$ \angle V_{AB} - \angle V_{AN} = 90^\circ - \frac{180^\circ}{n} $$

결과

선간전압과 상전압 간 위상차:
$$ \boxed{90^\circ - \frac{180^\circ}{n}} $$

검증

• ( n = 3 ): ( 90^\circ - \frac{180^\circ}{3} = 30^\circ ).
• ( n = 5 ): ( 90^\circ - \frac{180^\circ}{5} = 54^\circ ).