전기기사/4. 회로이론 및 제어공학

해비사이드 전개

elsstory 2025. 4. 14. 12:07
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해비사이드 전개 설명

해비사이드 전개는 라플라스 변환의 역변환을 계산하는 수학적 기법으로, 유리 함수의 역라플라스 변환을 구하는 데 유용합니다. 이 방법은 부분 분수 분해를 활용하며, 선형 미분방정식이나 제어 시스템 분석에 자주 사용됩니다. 아래에서 정의, 절차, 예시를 체계적으로 설명합니다.

정의

해비사이드 전개는 라플라스 변환 $ F(s) = \frac{P(s)}{Q(s)} $ (여기서 ( P(s) ), ( Q(s) )는 다항식, $ \deg P(s) < \deg Q(s) )$의 역변환 ( \mathcal{L}^{-1}{F(s)} )를 구하는 방법입니다. ( Q(s) )의 극점을 이용해 ( F(s) )를 부분 분수로 분해한 뒤 각 항의 역변환을 계산합니다.

절차

  1. 유리 함수 확인:
    $ F(s) = \frac{P(s)}{Q(s)} $에서 $ \deg P(s) < \deg Q(s) $인지 확인합니다. 그렇지 않으면 다항식 나눗셈을 적용합니다.
  2. 분모 인수분해:
    ( Q(s) )를 인수분해하여 극점 (( Q(s) = 0 )의 해)을 찾습니다. 극점은 단순 극점(중복 없음) 또는 다중 극점(중복 있음)입니다.
  3. 부분 분수 분해:
    • 단순 극점 ( s = p_i ):
      $$ F(s) = \frac{A_i}{s - p_i} + \text{다른 항} $$
    • 다중 극점 ( s = p_i ) (중복도 ( m )):
      $$ F(s) = \frac{A_{i,m}}{(s - p_i)^m} + \frac{A_{i,m-1}}{(s - p_i)^{m-1}} + \cdots + \frac{A_{i,1}}{s - p_i} + \text{다른 항} $$
  4. 계수 계산:
    • 단순 극점의 계수:
      $$ A_i = \lim_{s \to p_i} (s - p_i) F(s) $$
    • 다중 극점의 계수 (( k = 1, 2, \dots, m )):
      $$ A_{i,k} = \frac{1}{(m-k)!} \lim_{s \to p_i} \frac{d^{m-k}}{ds^{m-k}} \left[ (s - p_i)^m F(s) \right] $$
  5. 역라플라스 변환:
    표준 역변환을 적용합니다:
    • $$ \mathcal{L}^{-1} \frac{1}{s - a} = e^{at} $$
    • $$ \mathcal{L}^{-1} \frac{1}{(s - a)^k} = \frac{t^{k-1}}{(k-1)!} e^{at} $$

예시 1: 단순 극점

함수:
$$ F(s) = \frac{2s + 3}{(s + 1)(s + 2)} $$

  1. 유리 함수 확인:
    분자 차수(1) < 분모 차수(2), 적절합니다.
  2. 분모 인수분해:
    ( Q(s) = (s + 1)(s + 2) ), 극점: ( s = -1 ), ( s = -2 ) (단순 극점).
  3. 부분 분수 분해:
    $$ F(s) = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s + 2} $$
  4. 계수 계산:
    • ( s = -1 ):
      $$ A = \lim_{s \to -1} (s + 1) \frac{2s + 3}{(s + 1)(s + 2)} = \lim_{s \to -1} \frac{2s + 3}{s + 2} = \frac{2(-1) + 3}{-1 + 2} = 1 $$
    • ( s = -2 ):
      $$ B = \lim_{s \to -2} (s + 2) \frac{2s + 3}{(s + 1)(s + 2)} = \lim_{s \to -2} \frac{2s + 3}{s + 1} = \frac{2(-2) + 3}{-2 + 1} = 1 $$
      따라서:
      $$ F(s) = \frac{1}{s + 1} + \frac{1}{s + 2} $$
  5. 역라플라스 변환:
    $$ \mathcal{L}^{-1} \frac{1}{s + 1} = e^{-t}, \quad \mathcal{L}^{-1} \frac{1}{s + 2} = e^{-2t} $$
    결과:
    $$ \mathcal{L}^{-1} { F(s) } = e^{-t} + e^{-2t} $$

예시 2: 다중 극점

함수:
$$ F(s) = \frac{1}{(s + 1)^2 (s + 2)} $$

  1. 유리 함수 확인:
    분자 차수(0) < 분모 차수(3), 적절합니다.
  2. 분모 인수분해:
    극점: ( s = -1 ) (중복도 2), ( s = -2 ) (단순 극점).
  3. 부분 분수 분해:
    $$ F(s) = \frac{A}{(s + 1)^2} + \frac{B}{s + 1} + \frac{C}{s + 2} $$
  4. 계수 계산:
    • ( s = -2 ):
      $$ C = \lim_{s \to -2} (s + 2) \frac{1}{(s + 1)^2 (s + 2)} = \lim_{s \to -2} \frac{1}{(s + 1)^2} = \frac{1}{(-2 + 1)^2} = 1 $$
    • ( s = -1 ):
      • 최고 차수 (( A )):
        $$ A = \lim_{s \to -1} (s + 1)^2 \frac{1}{(s + 1)^2 (s + 2)} = \lim_{s \to -1} \frac{1}{s + 2} = \frac{1}{-1 + 2} = 1 $$
      • 다음 계수 (( B )):
        $$ B = \lim_{s \to -1} \frac{d}{ds} \left[ (s + 1)^2 \frac{1}{(s + 1)^2 (s + 2)} \right] = \lim_{s \to -1} \frac{d}{ds} \left( \frac{1}{s + 2} \right) = \lim_{s \to -1} \frac{-1}{(s + 2)^2} = \frac{-1}{(-1 + 2)^2} = -1 $$
        따라서:
        $$ F(s) = \frac{1}{(s + 1)^2} - \frac{1}{s + 1} + \frac{1}{s + 2} $$
  5. 역라플라스 변환:
    $$ \mathcal{L}^{-1} \frac{1}{(s + 1)^2} = t e^{-t}, \quad \mathcal{L}^{-1} \frac{-1}{s + 1} = -e^{-t}, \quad \mathcal{L}^{-1} \frac{1}{s + 2} = e^{-2t} $$
    결과:
    $$ \mathcal{L}^{-1} { F(s) } = t e^{-t} - e^{-t} + e^{-2t} $$

주의사항

  • 복소 극점의 경우 쌍으로 계산해야 합니다.
  • 복잡한 경우 컴퓨터 대수 시스템(예: MATLAB)을 활용하면 효율적입니다.
  • 분모가 완전히 인수분해되어야 효과적입니다.

결론

해비사이드 전개는 라플라스 역변환을 체계적으로 구하는 강력한 도구입니다. 단순 극점과 다중 극점을 처리하는 핵심은 부분 분수 분해와 표준 역변환 공식에 있습니다.

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