오일러의 공식 :: 복소수, 삼각함수, 지수함수의 연결

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1. 오일러 공식이란?

$$
e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
$$

• (e): 자연로그의 밑 (약 2.718),
• (i): 허수 단위 ((i^2 = -1)),
• (\theta): 각도 (라디안 단위),
• (\cos\theta)와 (\sin\theta): 각각 코사인과 사인 함수.

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2. 단계별로 이해하기

(1) 기본 함수 이해

• 지수 함수:
  $$
  e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots
  $$
• 코사인 함수:
  $$
  \cos\theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \cdots
  $$
• 사인 함수:
  $$
  \sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots
  $$

(2) (e^{i\theta}) 전개

$$
e^{i\theta} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \cdots
$$

• (i^2 = -1), (i^3 = -i), (i^4 = 1) 등을 대입하면:
  $$
  e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + i\frac{\theta^5}{5!} - \cdots
  $$
• 실수 부분:
  $$
  \cos\theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots
  $$
• 허수 부분:
  $$
  i\sin\theta = i\theta - i\frac{\theta^3}{3!} + i\frac{\theta^5}{5!} - \cdots
  $$
• 결과:
  $$
  e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
  $$

(3) 시각적 의미

• 복소 평면에서 (e^{i\theta})는 단위원 위의 점:

  • (x)-좌표: (\cos\theta),
  • (y)-좌표: (\sin\theta).

• 예시:

  • (\theta = 0):
    $$
    e^{i0} = \cos 0 + i\sin 0 = 1 + 0i = 1
    $$
  • (\theta = \frac{\pi}{2}):
    $$
    e^{i\pi/2} = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2} = 0 + i = i
    $$
  • (\theta = \pi):
    $$
    e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0i = -1
    $$

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3. 유명한 결과

$$
e^{i\pi} + 1 = 0
$$

• (\cos\pi = -1), (\sin\pi = 0)을 대입하여:
  $$
  e^{i\pi} = -1 \quad \Rightarrow \quad e^{i\pi} + 1 = 0
  $$

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결론

오일러 공식 (e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta)는 지수 함수가 복소 평면에서 원을 그리며 회전하는 모습을 보여줍니다. 테일러 급수로 전개하면 수학적으로 자연스럽게 도출되며, 물리학과 공학에서 주기적 현상을 분석하는 데 핵심적인 역할을 합니다.